Eliptyczność w geometrycznych zagadnieniach wariacyjnych

Słynny problem Plateau, sformułowany już w XVIII wieku, polega na wykazaniu
istnienia dwuwymiarowej powierzchni, która minimalizuje pole wśród konkurentów
mających tę samą krzywą brzegową. W ubiegłym wieku zaproponowano i rozwiązano
wiele matematycznie rygorystycznych sformułowań tego problemu. W szczególności
do atakowania tego typu zagadnień rozwinięto teorię warifoldów.

Uogólnienia problemu Plateau idą w różnych kierunkach. Po pierwsze, rozważane są
powierzchnie o wymiarze k ≥ 1 w przestrzeni euklidesowej o wymiarze n > k.  Po
drugie, pojęcie powierzchni definiuje się za pomocą dowolnej k-wymiarowej miary
nad R^n.

Przez miarę k-wymiarową rozumiemy miarę Borelowsko regularną, która jest
niezerowa, niezmiennicza względem translacji i skończona na ograniczonych
podzbiorach dowolnej k-wymiarowej płaszczyzny afinicznej w R^n. Taka miara
ograniczona do wystarczająco regularnych powierzchni jest określona przez
funkcję F : G(n,k) \to (0,\infty). Prowadzi to nieuchronnie do rozważenia funkcjonałów
\Phi zdefiniowanych na k-wymiarowych powierzchniach M w R^n wzorem

\Phi(M) = \int F(Tan(M,x))dx

Aby zastosować abstrakcyjną maszynerię analizy funkcjonalnej i rachunku
wariacyjnego trzeba rozszerzyć dziedzinę \Phi z regularnych k-powierzchni na
bardziej ogólne obiekty. Warifoldy są skrojone właśnie do tego celu. Z definicji
są to miary na pewnej wiązce Grassmannianów. Po rozszerzeniu dziedziny \Phi,
udowodnienie istnienia minimów jest dość proste, ale znalezione minimum jest
teraz tylko warifoldem i trzeba się napracować, żeby udowodnić, że ma ono jakąś
regularność.

Minima takich funkcji jak \Phi są już dobrze poznane, ale inne punkty krytyczne
nie. Funkcja podcałkowa F musi spełniać pewne warunki, aby wszystkie punkty krytyczne miały
pewną początkową regularność. Pełna regularność jest obecnie poza zasięgiem i
wiele pytań pozostaje otwartych. W szczególności, pojęcie eliptyczności F, które
powinno implikować regularność punktów krytycznych, nie jest jeszcze całkowicie
określone.

Spotkanie odbywa się stacjonarnie, zapraszamy do sali 5440(nie będzie transmisji online).

The famous Plateau problem, formulated already in 18th century, is to
show the existence of a 2-dimensional surface that minimises the area among
competitors having the same boundary curve. In the last century many
mathematically rigorous formulations of this problem were proposed and
solved. In particular, the theory of varifolds has been developed to tackle
these kind of questions.

Generalisations of the Plateau problem go in various directions. First of all
surfaces of dimension k ≥ 1 in a Euclidean space of dimension n > k are
considered.  Second, the notion of area is defined using an arbitrary
k-dimensional measure over R^n.

By a k-dimensional measure we mean a Borel regular measure which is non-zero,
translation invariant, and finite on bounded subsets of any k-dimensional affine
plane on R^n . Such measure restricted to regular enough surfaces is determined
by a function F : G(n, k) \to (0,\infty). This inevitably leads to considering
functionals Φ defined on k-dimensional surfaces M in R^n by the formula

\Phi(M) = \int F(Tan(M,x))dx

In order to employ abstract machinery of functional analysis and calculus of
variations one needs to extend the domain of \Phi from regular k-surfaces to more
general objects. Varifolds are tailored exactly for this purpose. By definition
these are measures over certain Grassmannian bundle. After extending the domain
of \Phi proving existence of minima is rather easy but the minimum is now just a
varifold and one needs to work hard to prove that it has some regularity.

Minima of functionals like \Phi are already well understood but other critical
points are not. The integrand F must satisfy certain conditions in order that
all critical points posses some initial regularity. Full regularity is currently
out of reach and many questions remain open. In particular, the notion of
ellipticity of F, which should imply regularity of critical points, is not yet
completely determined.

The meeting will be held on-site in room 5440 (it will not be broadcast online).