O przepływach nie do końca ściśliwych

Wyobraźmy sobie płyn, nie do końca jednorodny, ale lepki i zachowujący się mniej więcej jak woda. Dynamika ruchu takiego płynu powinna bazować na standardowych równaniach, klasycznych, takich jak układ Navier-Stokesa, tak, ten sam co z problemu Milenijnego. Teraz, ponieważ płyn nie jest jednorodny, można powiedzieć, że ma pewne własności ściśliwości, musimy opisać zmienność gęstości płynu. Bierzemy równanie transportu, tak dostajemy układ równań Naviera-Stokesa opisujący dynamikę niejednorodnych płynów nieściśliwych, znany choćby z monografii P-L Lionsa.

Wykład swój chcę poświecić przybliżeniu ciekawych problemów matematycznych związanych z tym układem. Głównym celem jest prezentacja wyniku dla szczególnego przypadku, gdy gęstość początkowa jest po prostu funkcją charakterystyczną zbioru (problem Lionsa). Opowiem o rozwiązaniach w niskich regularnościach, przydatności współrzędnych Lagrange'a, potrzebie jednoznaczności, oraz o pewnym triku/metodzie, która pozwala na domknięcie dowodów.

Bazować będę na wynikach wspólnych z Raphaelem Danchinem (Paris12)

Take a fluid, an inhomogeneous viscous one behaving like water. Dynamics of motion of such fluid should be described by standard equations, classical ones like the Navier-Stokes system, the same one as from the Millennium Problem. Since our fluid is inhomogeneous, one can say it is compressible, hence the change of the density shall be described, too. We take the simplest transport equation, and obtain the inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system (see P.L. Lions' monograph).

My talk will be an introduction to mathematical problems connected to the system. The main aim is presentation of the result concerning a particular case, when the initial density is prescribed by a characteristic function of a set (Lions' problem). I will tell about solutions in low regularity, needs of the Lagrangian coordinates, uniqueness and about a trick which allows to close of ideas of the proof.

The talk will be based on result joint with Raphael Danchin (Paris12).