Klasyfikacja rozmaitości gładkich poprzez szeregi potęgowe

Opowiem fascynującą historię jak wyniki znane w czysto algebraicznej teorii szeregów potęgowych dwóch zmiennych, zwanych grupami formalnymi, posłużyły Danielowi Quillenowi (medal Fieldsa 1978) do podania zupełnie nowego dowodu twierdzenia René Thoma (medal Fieldsa 1958) o klasyfikacji zwartych rozmaitości gładkich z dokładnością do relacji kobordyzmu. Dowód Quillena stanowi tour de force zastosowania kategoryjnego myślenia prowadzącego do konkretnego, geometrycznego wyniku. Ten zaskakujący związek algebry i topologii rozmaitości otworzył przed pól wieku nową erę w rozwoju topologii algebraicznej i jej związków z algebraiczną teorią liczb.

I will tell a fascinating story of how the results known in the algebraic theory of power series in two variables, called formal groups, were used by Daniel Quillen (Fields Medal 1978) to provide a completely new proof of classification of compact smooth manifolds up to the (co-)bordism relation, discovered by René Thom (Fields Medal 1954). Quillen’s proof is a tour de force of the application of categorical reasoning leading to a specific geometric result. This surprising connection between algebra and topology of manifolds opened over 50 years ago a new era in the development of algebraic topology and its connections with algebraic number theory.