Parametryczna wersja twierdzenia Borsuka--Ulama

Referowane wyniki sa wspolne z R.Simonem, T.Schickiem i H.Torunczykiem i motywowane byly potencjalnymi zastosowaniami w teorii gier. Dotycza one ,,wlasnosci S'' zbioru X\subset W \times M, gdzie W to rozmaitosc(byc moze z brzegiem), mowiacej, ze rzutowanie p wzdluz M pary (X, p^{-1}(Bd W)\cap X) w (W, Bd W) indukuje epimorfizm homologii Cecha w wymiarze d=dim W. Jesli M=S^m\times R^m (S^m to sfera), z kompaktem X majacym te wlasnosc wiazemy inny Y\subset W\times R^m i dowodzimy, ze tez ma te wlasnosc i wobec tego rzutuje sie na W. Gdy X jest wykresem ciaglej funkcji W\times S^m-->R^m, daje to przy W=punkt twierdzenie Borsuka--Ulama (tak zefiniowano Y), a przy bardziej ogolnym W --teze mowiaca z grubsza, ze dla "dobrej" rodziny problemow Borsuka-Ulama, parametryzowanych ozmaitoscia W, zbior ich rozwiazan rzutuje sie na W w sposob homologicznie istotny. Dowod wykorzystuje konstrukcje i wlasnosci pewnej kanonicznej operacji "squaring" H_n(X,A)-->H_{2n}(X,A)^s, gdzie (X,A) to para zwarta, a (X,A)^s to nieco zmieniony jej kwadrat symetryczny. Powyzej, homologie Cecha maja wspolczynniki w Z_2 (co nie wszedzie gra role).