O nierówności Straussa i innych własnościach funkcji

Związek pomiędzy regularnością a znikaniem w nieskończoności funkcji spełniających pewne warunki symetrii, np. funkcji radialnych został zauważony w późnych latach 60-tych przez matematyków zajmujących się równaniami cząstkowymi. W szczególności W.Strauss udowodnił następującą nierówność:

$|x|^{\frac{n}{2}-1} |f(x)|\; \le \; \|\nabla f\|_2, \qquad f\in \dot{W}^1_2(\mathbb{R}^n)$,

gdzie f jest funkcją radialną na $\mathbb{R}^n$, $n > 2$. Zauważono, że ta nierówność pociąga zwartość włożeń typu Sobolewa dla podprzestrzeni przestrzeni Sobolewa złożonych z funkcji radialnych. Jest to ściśle związane z faktem, że brak zwartości zwykłych włożeń Sobolewa na $\mathbb{R}^n$ jest związany z działaniem jakiejś grupy izometrii odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej. Ta ostatnia obserwacja prowadzi do pojęć ko-zwartości i rozkładów profilowanych. Poza funkcjami radialnymi można rozpatrywać również słabsze warunki symetrii np. funkcje multi-radialne (blokowo-radialne).
W czasie wykładu omówię wyniki uzyskane wspólnie z W.Sickelem (Jena) i C.Tintarevem (Uppsala) dotyczące uogólnień nierówności Straussa na szersze klasy funkcji, zarówno w sensie warunków symmetrii (funkcje multi-radialne) jak i sposobów określania gładkości.