O granicach w kategorii praporządków z morfizmami słabo odbijającymi domknięcia w dół

Podczas seminarium opowiem o moich zmaganiach z pokazaniem istnienia wszystkich granic w kategorii Preord!, której obiekty to praporządki, zaś morfizmy spełniają dwa warunki:

(1) są monotoniczne

(2) słabo odbijają domknięcia w dół, czyli dla f : A -> B, a\in A, b'\in B, jeśli b'<=f(a), to istnieje a'\in A, że f(a')=b' i a'<=a

Trudne okazało się zwłaszcza zdefiniowanie produktów w tej kategorii. Postaram się przystępnie przedstawić problem i podać uzasadnienie, dlaczego kategoria Preord! może być interesująca dla informatyka.