Krzywe Peano zdefiniowane przez szeregi lakunarne

Omówimy zagadnienie, dla jakich funkcji holomorficznych w dysku jednostkowym i ciągłych na brzegu, obraz okręgu jednostkowego jest krzywą Peano (tzn. ma niepuste wnętrze). W szczególności, pokażemy że zachodzi to dla pewnych szeregów lakunarnych typu Weierstrassa. Co więcej, w niektórych przypadkach szeregi te są funkcjami ciągłymi, które nie zachowują zbiorów borelowskich na okręgu jednostkowym. Omówimy też związki tych zagadnienień z problemem obliczenia wymiaru Hausdorffa dla rzeczywistych funkcji nieróżniczkowalnych typu Weierstrassa.