Algebraiczne krzywe fazowe dla wielomianowych pól wektorowych na płaszczyźnie

Problem badania krzywych fazowych dla wielomianowych pól wektorowych pochodzi od Poincare. Już dla pól kwadratowych zagadnienie jest bardzo skomplikowane. Do niedawna panowalo przekonanie (hipoteza Lins-Neto), że przy pewnych naturalnych założeniach istnieje oszacowanie na maksymalny stopień krzywej algebaicznej w zależnosci od stopnia pola. Wyniki ostatnich lat pokazują, że sytuacja jest dużo bardziej skomplikowana. Jak na razie istnieje oszacowanie na stopień takiej krzywej w zależności od stopnia pola w tzw. przypadku niedikrytycznym, natomiast ogólnie sformułowana hipoteza Lins-Neto okazuje się być fałszywa. Postaram się opowiedzieć, co wiadomo, a czego nie wiadomo w tej dziedzinie, oraz omówić stosowane tu metody, głównie dla pól stopnia 2.