Zagadnienie gęstość funkcji gładkich w przestrzeniach Musielaka-Orlicza i jego konsekwencje w równaniach różniczkowych

Na podstawie [0] opowiem o zjawisku Ławrentiewa w przestrzeniach Musielaka-Orlicza oraz o pewnych konsekwencjach, jakie ono niesie w teorii istnienia dla równań eliptycznych i parabolicznych bez typowych (dla przestrzeni Orlicza) warunków wzrostu na wiodącą część operatora (cf. [2,3] i dalsze prace). W ogólnych przestrzeniach Musielaka-Orlicza spodziewamy się braku gęstości funkcji gładkich tak jak ma to miejsce w szczególnych przypadkach - przestrzeniach ze zmiennym wykładnikiem czy przestrzeni dwu-fazowej, w których otrzymujemy optymalne wyniki. Gdy niehomogeniczność przestrzeni nie daje się zbalansować wypukłością funkcjonału od którego pochodzi norma można pokazywać przykłady funkcji, których przybliżać się nie da. Będę podkreślała dlaczego pozostanie w nieobecności zjawiska Ławrentiewa stanowi podstawowe założenie do uprawiania równań różniczkowych w tym środowisku.

[0] Y. Ahmida, I. Chlebicka, P. Gwiazda, A. Youssfi, Gossez's approximation theorems in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces, JFA 2018.

[1] I. Chlebicka, A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak–Orlicz spaces, Nonl. Analysis, 2018.

[2] P. Gwiazda, I. Skrzypczak, A. Zatorska-Goldstein, Existence of renormalized solutions to elliptic equation in Musielak-Orlicz space, JDE 2018.

[3] I. Chlebicka, P. Gwiazda, A. Zatorska-Goldstein, Well-posedness of parabolic equations in the non-reflexive and anisotropic Musielak-Orlicz spaces in the class of renormalized solutions, JDE 2018.