Przestrzenie funkcyjne i zagadnienie Dirichleta dla operatorów nielokalnych

Opowiem o różnych podejściach do zagadnienia Dirichleta dla nielokalnych operatorów Lévy'ego. Punktem wyjścia będą rozwiązania wariacyjne i związane z nimi przestrzenie typu Sobolewa. Metody probabilistycznej teorii potencjału pozwalają nam uzyskać dla tych przestrzeni twierdzenie o rozszerzaniu i śladzie, oraz równość pewnych form energii dla funkcji harmonicznej i jej śladu, tzw. tożsamość Douglasa. Otrzymujemy też równoważność kilku definicji funkcji harmonicznej w rozważanej przestrzeni Sobolewa. Pokażę ponadto, jak można przenieść tożsamość Douglasa na przypadek nieliniowy. Przedstawione wyniki zostały uzyskane wspólnie z K. Bogdanem, T. Grzywnym i K. Pietruską-Pałubą.