Optymalność algorytmów typu Eulera w zadaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych z nieciągłymi współczynnikami

Rozważymy problem aproksymacji skalarnych stochastycznych równań różniczkowych postaci

(1)

dX(t) = σ₁(t)a(X(t))dt + σ₂(t)b(X(t))dW(t), t  \in [0, T],

X(0) = η,

przy czym zakładamy, że współczynniki σ_1, σ₂ : [0, T] → R mogą mieć skończoną ilość

nieznanych osobliwości w (0, T).

Rozpatrzymy najpierw przypadek regularny, w którym σ₁, σ₂ należą do klasy funkcji

Holderowsko ciągłych z wykładnikiem \varrho \in (0, 1]. W przypadku szumu addytywnego

(b \equiv const) pokażemy, że wśród wszystkich algorytmów adaptacyjnych klasyczny algorytm

Eulera X^E ma optymalny błąd Θ(n^-\varrho), \varrho \in (0, 1]. Dla równania (1) z szumem

multiplikatywnym udowodnimy, że algorytm X^E ma błąd O(n^{-min{1/2,\varrho}}) i jest on

optymalny gdy \varrho \in (0, 1/2].

W przypadku osobliwym założymy, ze σ_1, σ₂ należą do klasy funkcji kawałkami

spełniających warunek Holdera oraz, w nieznanych punktach osobliwych, prawostronnie

ciągłych. Zbadamy błąd algorytmu Eulera X^E i pokażemy, że jedynie osobliwości σ₂ wpływają na jego dokładność. Pozwoli nam to pokazać, że błąd tego algorytmuwynosi O(n^{-min{1/2,\varrho}}), zarówno w przypadku szumu addytywnego jak i multiplikatywnego.Ponadto, wykorzystując wyniki dla całkowania Itô funkcji z osobliwościami       

udowodnimy, że dowolny algorytm nieadaptacyjny ze względu na σ₂ (czyli np. X^E)ma błąd nie mniejszy niż n^{-min{1/2,\varrho}}. Ograniczenie to zachodzi nawet jeśli σ₂ ma co najwyzej jeden nieznany punkt osobliwy. W celu zachowania poziomu błędu z przypadku 

regularnego, rozważymy algorytmy adaptacyjne ze względu na σ₂. W przypadku

szumu addytywnego, gdy współczynnik σ₂ ma co najwyżej jeden punkt osobliwy, skonstruujemy

zmodyfikowany algorytm Eulera X^E, który najpierw wykrywa osobliwośćσ₂ a następnie odpowiednio modyfikuje wyjściową dyskretyzację [0, T]. Algorytm ten zachowuje optymalny błąd Θ(n^-\varrho) z przypadku regularnego. Rozważymy również przypadek wielu osobliwosci.