Odwrócone sprężyste wahadło jako matematyczny model biegu

W rozprawie doktorskiej przedstawiono koncepcyjny model sprężynowej masy wykorzystany do analizy mechaniki biegu. Model, sprowadza biegacza do punktu masy na nieważkiej sprężynie, upraszczając ruch nogi podporowej podczas kontaktu z ziemią do odwróconego sprężystego wahadła (ang. spring-loaded inverted pendulum - SLIP). Ze względu na brak możliwości uzyskania rozwiązań analitycznych układu równań, opisującego ruch w fazie podporu, do wyznaczenia przybliżonych rozwiązań zastosowano teorię zaburzeń i metody numeryczne. Warunki początkowe modelu, obejmują kąt ataku i długość nogi oraz wartości prędkości kątowej w momencie lądowania. Wykorzystując metodę Poincarégo-Lindstedta przeanalizowano asymptotyczne zachowanie i w konsekwencji uzyskano przybliżenia dla długości nogi oraz kąta między nogą a osią pionową. Błąd tych przybliżeń jest tym mniejszy, im większe są wartości sztywności nogi. Ponadto uzyskane rzędy przybliżeń umożliwiają oszacowanie ich błędów z konkretną dokładnością. Następnie, analizując fazę podporu, podczas której noga powraca do długości początkowej, określono czas kontaktu stopy z podłożem oraz maksymalne ugięcie nogi i przyrost kąta. Dodatkowo rozwiązując zagadnienie brzegowe, otrzymano analityczne aproksymacje sztywności nogi.

W kolejnej części pracy odpowiednio łącząc rozwiązania asymptotyczne dla dwóch faz: podporu oraz lotu, zredukowano dynamikę do jednego wymiaru i wyznaczono odwzorowanie powrotu od wierzchołka do kolejnego wierzchołka fazy lotu. Pokazano, że odwzorowanie powrotu musi spełniać określone warunki energetyczne, aby istniały punkty stałe. Analizie podlegała również stabilność tych punktów, co pozwoliło na identyfikację warunków bifurkacji transkrytycznej, gdzie tworzone są gałęzie stabilnych i niestabilnych rozwiązań. W przypadku asymetrycznych rozwiązań w parametrach modelu, punkty stałe istniały tylko przy dużych kątach odbicia, które znacznie wychodzą poza zakres stosowalności modelu.

Ostatnia część pracy koncentruje się na podejściu eksperymentalnym, w ramach którego teoretyczne wyniki modelu są porównywane ze zbieranymi danymi, umożliwiając weryfikację jego przydatności w praktycznych zastosowaniach biomechaniki biegu. Studium to wykazuje, w jaki sposób badani w eksperymencie optymalizowali swoją energię, dążąc do minimalizacji jej zużycia, przy jednoczesnym utrzymaniu stabilności biegu.