Od fraktali i iterowanych układów funkcyjnych do operatorów Markowa - przegląd wyników i metod.
- Prelegent(ci)
- Joanna Jaroszewska
- Afiliacja
- Uniwersytet Warszawski
- Termin
- 9 grudnia 2004 12:15
- Pokój
- p. 5850
- Seminarium
- Seminarium Zakładu Rachunku Prawdopodobieństwa
W moim wystąpieniu chciałabym przedstawić przykładowe wyniki i metody teorii
operatorów Markowa, tj. operatorów opisujących ewolucje miar. Najpierw omówię
ważny przykład - operatory Markowa generowane przez iterowane układy funkcyjne.
W szczególnym przypadku operator taki przypisuje określonej na przestrzeni
metrycznej mierze $\mu$ kombinację (z danymi, sumującymi się do jedynki
współczynnikami) miar będących transportami $\mu$ poprzez dane transformacje.
Opowiem, jak za pomocą operatorów tej postaci otrzymywać niektóre z fraktali,
np. paprotkę Barnsleya, trójkąt Sierpińskiego, czy drzewko binarne (znane
z wydziałowych korytarzy). Jako, że zbiory te związane są z asymptotycznym
zachowaniem ciągów iteracji pewnych operatorów Markowa, przedstawię
twierdzenia tego dotyczące. Będą to tzw. kryteria asymptotycznej stabilności
- proste (dowód oparty na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym) i trudniejsze
(zakłada się, że startujące z dowolnej miary probabilistycznej trajektorie,
wyznaczane wzgl. badanego operatora, złożone są z miar, które koncentrują się
na dowolnie małym zbiorze; ważnym krokiem dowodu jest wykazanie ścisłości
pewnych rodzin miar). Zaprezentuję też dwa twierdzenia związane z tzw.
probabilistycznym algorytmem generowania fraktali (dowód jednego z nich
jest elementarny, a dowód drugiego odwołuje się do twierdzenia o zbieżności
martyngałów).