O pewnym zagadnieniu z hydrodynamiki

Rozważmy drgania cieczy w nieskończonym kanale o stałym przekroju $W \subset \Rt$. Brzeg obszaru W składa się z 2 części: dolnej B (brzeg kanału) i górnej F będącej poziomym odcinkiem (wolna powierzchnia cieczy, zakładamy że F leży na osi 0x). Rozważamy wyłącznie dwuwymiarowe drgania cieczy w płaszczyznach równoległych do przekroju W. Niech u_n(x,y) będzie potencjałem prędkości cieczy (pomijamy tu czynnik zależny od czasu). Wtedy u_n spełnia następujące zagadnienie własne: \Delta u_n(x,y) = 0; x \in W, \frac{\partial u_n}{\partial y} (x,0) = - \nu_n u_n(x,0); (x,0) \in F. \frac{\partial u_n}{\partial \vec{n}} (x,y) = 0; (x,y) \in B. Powyższy problem jest klasycznym problemem w hydrodynamice badanym od wielu lat. Referat będzie dotyczył własności pierwszej nietrywialnej funkcji u_1 dla tego zagadnienia. Główna metoda rozumowania polega na uogólnieniu pewnych nierówności (udowodnionych przez G. Polya) pomiędzy wartościami własnymi dla problemu Dirichleta i problemu Neumanna.