O pewnych rodzinach martyngałów, funkcji ruchu Browna i jego procesów maksimum, minimum oraz czasu lokalnego, oraz ich zastosowaniach.

Podczas referatu przedstawię pewne niedawne wyniki związane z martyngałami lokalnymi postaci: $H(M_t,S_t,I_t,L_t)$ gdzie M jest ciągłym martyngałem lokalnym, a S, I, L są odpowiednio jego maksimum, minimum oraz czasem lokalnym w zerze. Z jednej strony przedstawię proponowane charakteryzacje wszystkich tego typu martyngałów wraz z opisem nowych klas martyngałów. Jednocześnie postaram się przedstawić pewne typowe argumenty które pozwalają wnioskować o tym, że tego typu martyngały muszą mieć bardzo szczególną postać. W drugiej części referatu skupię się na martyngałach i nadmartygałach w których pojawiają się procesy A=S-I oraz D=M-(S+I)/2 które można określać jako procesy amplitudy i średniej odległości. W szczególności przedstawię nierówności (Fujita-Yor) szacujące normę L^p zmiennej A_t przez normę L^p zmiennej D_t, które uogólniają klasyczny wynik Pitmana: E (S_t-I_t)^2< 4 E X_t^2, który z kolei uogólniał nierowność Doob'a. Postawię problem optymalności stałych w tych nierównościach.