O ostatnich wynikach dotyczących hipotezy Bourgaina o istnieniu dużych przekrojów ciał wypukłych

Słynny otwarty problem, sformułowany przez Bourgaina (hyperplane conjecture), mówi, że każde ciało wypukłe objętości 1 ma n-1 wymiarowy przekrój o objętości ograniczonej z dołu przez stałą uniwersalną. Bourgain wykazał, że z dokładnością do logarytmu z wymiaru ciało musi mieć przekrój o objętości większej niż cn^{-1/4} - wynik ten przez lata doczekał się jedynie drobnej poprawki (Klartag usunął logarytm).

Ostatnio dokonał się ogromny postęp w badaniu tego zagadnienia - pod koniec 2020 roku Yuansi Chen pokazał oszacowanie n^{o(1)}, a kilka tygodni temu Bo'az Klartag i Joseph Lehec umieścili na arxiv preprint z oszacowaniem polilogarytmicznym. Podczas odczytu omówię te oszacowania i ich związek z różnymi nierównościami dla rozkładów jednostajnych na ciałach wypukłych (lub ogólniej miar logarytmicznie wklęsłych). Postaram się też powiedzieć kilka słów o metodach dowodu, opartych m.in. o tzw. stochastyczną lokalizację Eldana.