O lokalnym ginięciu układów cząstek z rozgałęzianiem

Początkowa konfiguracja cząstek w R^d zadana jest przez miarę losową Poissona z miarą intensywności dx/(1+|x|^\gamma), \gamma \ge 0. Cząstki poruszają się niezależnie od siebie ruchem Browna i podlegają krytycznemu gałązkowaniu typu 1+\beta, 0<\beta\le 1 (tj. funkcja tworząca rozkładu rozgałęziania jest postaci s+(1-s)^{1+\beta} /(1+\beta) ). Pokażemy, że gdy d< 2/\beta + \gamma, to układ cząstek prawie na pewno lokalnie ginie, tzn. dla dowolnego zbioru borelowskiego ograniczonego B, N_t(B) zbiega do zera p.n., gdy t dąży do nieskończoności, N_t jest procesem empirycznym układu. Dowód tego faktu opiera się na wyniku Iscoe dla odpowiedniego superprocesu.