O dyfuzjach dopasowanych
- Prelegent(ci)
- Maciej Wiśniewolski
- Afiliacja
- Uniwersytet Warszawski
- Termin
- 27 marca 2014 12:15
- Pokój
- p. 3260
- Seminarium
- Seminarium Zakładu Rachunku Prawdopodobieństwa
Idea dopasowanych dyfuzji wychodzi z faktu przemienności operatorów
półgrupy i infinitezymalnego dla procesów fellerowskich. W odróżnieniu
od klasycznego ujęcia tematu, rozważamy funkcję dwóch argumentów, dla
której przemienność operatorów rozumiemy nieco inaczej: zmiana
kolejności działania operatorów zmienia role argumentów rozważanej
funkcji - do danej dyfuzji $\hat{X}$ dopasujemy drugą dyfuzję $X$
(niekoniecznie z tej samej przestrzeni probabilistycznej) tak, by $P_t
\hat{A}f= AP_t f - Vf$, gdzie $V$ jest pewną nieujemną funkcją, a
$\hat{A}, A$ są generatorami odpowiednich dyfuzji. Okazuje się, że takie
stowarzyszenie dyfuzji $\hat{X}, X$ wraz z twierdzeniem Feynmana-Kaca
prowadzi do uniwersalnej techniki wyznaczania jednowymiarowych rozkładów
dyfuzji. Przykładowo metoda (z pewną modyfikacją) pozwala
scharakteryzować rodzinę uogólnionych procesów Bessla odrywając się
zupełnie od addytywności, dzięki której udało się pierwotnie znaleźć
rozkład klasycznego procesu Bessla. Metoda dopasowania rzuca nowe
światło na związek rozkładów dyfuzji z rozwiązaniami równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu -
w szczególności przedstawimy probabilistyczną reprezentację klasy
rozwiązań równań hiperbolicznych (twierdzenie Feynmana-Kaca daje
reprezentację klasy rozwiązań równań eliptycznych). Uniwersalizm metody
zostanie poparty wieloma innymi przykładami.