Nierówność typu Loomisa-Whitneya dla permutacyjnie niezmienniczych bezwarunkowych ciał wypukłych

Nierówność Loomisa-Whitneya pozwala szacować objętość dowolnego zbioru zawartego w R^n za pomocą objętości rzutów tego zbioru na n-1 wymiarowe podprzestrzenie. My będziemy się interesować ciałami wypukłymi K w R^n, które są permutacyjnie niezmiennicze (tzn. (x_1, ..., x_n) \in K wtedy i tylko wtedy, gdy (x_s(1), ..., x_s(n)) \in K, dla dowolnej permutacji s zbioru {1, ..., n}) i bezwarunkowe (tzn. symetryczne względem wszystkich hiperpłaszczyzn {x_i = 0}). Pokażemy, że ciąg objętości (V_k), k=1,...,n rzutów ciała K na podprzestrzenie rozpięte przez kolejne k wektorów standardowej bazy R^n jest log-wklęsły. W szczególności, V_{n-1}^2 \geq V_n*V_{n-2}, czyli mamy oszacowanie objętości ciała K za pomocą objętości jego n-1 i n-2 wymiarowych rzutów. Jest to tytułowa nierówność typu Loomisa-Whitneya.

Referat oparty na wspólnej pracy z Piotrem Nayarem.