Metoda pochodnej topologicznej w zadaniach optymalizacji. Teoria i metody numeryczne.

Pochodna topologiczna funkcjonalu ksztaltu wynika z asymptotycznego rozkladu funkcjonalu ze wzgledu na maly parametr opisujacy osobliwe zaburzenie obszaru calkowania. Obszar calkowania dotyczy ukladow eliptycznych np. w teorii sprezystosci. Teoretyczne prace w dziedzinie analizy asymptotycznej byly prowadzone przez matematykow rosyjskich, a ich zastosowanie do rozwiazywania zadan optymalizacji ksztaltu zostalo odkryte w pracy opublikowanej w 1999 roku (SICON, J. Sokolowski, A. Zochowski). Od tego czasu mamy burzliwy rozwoj tej dziedziny, do ktorej wprowadzeniem jest monografia opublikowana w 2013 roku (A.A. Novotny, J. Sokolowski, Springer).
Rozklad asymptotyczny funkcjonalu ksztaltu pozwala na sformulowanie warunkow koniecznych optymalnosci dla zadania minimalizacji funkcjonalu. Mozna wiec uzywac do przyblizonego rozwiazywania takich zadan metod numerycznych opartych na pochodnych topologicznych pierwszego lub drugiego rzedu. Metoda numeryczna oparta na pochodnej topologicznej pierwszego rzedu wykorzystuje pewna funkcje poziomicowa (levelset) i jest metoda gradientowa. Metoda oparta o pochodna topologiczna drugiego rzedu jest metoda typu Newtona. Tak wiec wprowadzono nowe metody rozwiazywania zadan optymalizacji ksztaltu. Na seminarium zostana przedstawione przyklady takich zadan. Jak sie wydaje, obecnie najwazniejsze z punktu widzenia praktycznego sa zadania optymalizacji konstrukcji w teorii sprezystosci. Uzasadnienie proponowanej metotyki w zadaniach opisywanych rownaniami scisliwego gazu wymaga dalszych badan teoretycznych i jest ciekawym problemem otwartym.