Geometryczna interpretacja równań Darboux. Czy tylko interpretacja?

Równania badane koniec XIX w. przez G. Darboux w kontekście sieci
sprzężonych (pewne sparametryzowane podrozmaitości w przestrzeniach
rzutowych) okazały się być współcześnie, na gruncie teorii solitonów,
najogólniejszymi równaniami różniczkowymi całkowalnymi przy pomocy tzw.
nielokalnej metody D-bar (V. Zakharov, S. Manakov). Jest to najbardziej
zaawansowana (a jednocześnie najprostsza) wersja metody spektralnej
stosowanej do rozwiązywania równań całkowalnych. Ponadto transformacja
fundamentalna sieci sprzężonych, badana intensywnie na początku XX w.
przez L. Eisenharta, prowadzi do binarnej transformacji Darboux dla tych
równań.
    Dyskretyzując geometrycznie równania Darboux nie zaburza się ich
własności istotnych z punktu teorii układów całkowalnych. Procedura taka
wydobywa na światło dzienne nieoczekiwane związki teorii solitonów z
geometrią incydencyjną. Prowadzi także do nowego rozumienia
całkowalności cząstkowych równań różnicowych (a więc także odpowiednich
równań różniczkowych - jako przypadków granicznych) w terminach
wielowymiarowej konsystencji.