Funkcja zeta Igusy, topologiczna i motywiczna: jej związki z genusem eliptycznym

Niech K=Q_p. Dla funkcji wielomianowej f:K^n --> K rozważamy funkcję zeta zdefiniowaną przez całkę Z(f,s)=\int |f(x)|^s dx, gdzie całka jest brana po (Z_p)^n, a norma oznacza normę p-adyczną. Igusa wykazał, że funkcja zeta jest wymierna ze względu na zmienną p^s. W dobrych przypadkach (gdy istnieje dobra redukcja do ciała rezidualnego F_p) można podać formułę na funkcję zeta w terminach rozwiązania osobliowści, sumując ilości punktów w stratyfikacji rozwiązania nad F_p. Formuła ta ma topologiczny analog: zamiast liczyć punkty w F_p stosujemy charakterystykę Eulera, lub dowolny inny niezmiennik motywiczny. W ten sposób jest zdefiniowana topologiczna funkcja zeta i motywiczna funkcja zeta. Ma ona globalną wersję gdzie funkcja f jest zastąpiona dywizorem D w zwartej rozmaitości X. Przedstawię jak topologiczną funkcję zeta otrzymać jako degenerację genusu eliptycznego Borisova-Libgobera.