Fluktuacje procesu Lambda-sklejania

Procesy sklejania (coalescent processes) pojawiają się w literaturze np. w kontekście modelowania genealogii populacji. Są to procesy Markowa, które można opisać jako procesy sklejania bloków. Klasycznym przykładem jest tzw. "Kingman coalescent", gdzie dowolna para bloków skleja się z intensywnością 1. Procesy Lambda-sklejania stanowią ogólniejszą klasę procesów, która dopuszcza jednoczesne sklejanie wielu bloków. Mechanizm tego sklejania zadany jest za pomocą miary Lambda na odcinku [0,1].

Interesować nas będą procesy startujące z przeliczalnej liczby bloków. Niech N_t oznacza liczbę bloków w chwili t. Często mamy do czynienia z sytuacją taką, że N_t jest skończone p.n. dla każdego t>0 (mimo że N_0 jest nieskończone). Zjawisko to nazywane jest zejściem z nieskończoności (CDI). Znany jest warunek konieczny i dostateczny na CDI (Schweinsberg 2000, Bertoin, Le Gall 2006). Berestycki, Berestycki i Limic (2010) zbadali prędkość CDI, tj. znaleźli taką deterministyczną funkcję v, że N_t/v_t -> 1, gdy t dąży do 0.

W referacie pokażemy, jak (w przypadku CDI) zachowują się fluktuacje procesu N_t/v_t  dla małych czasów. Dokładniej, badamy zbieżność, przy \epsilon -> 0, procesów X_\epsilon zdefiniowanych jako

X_\epsilon(t)= F(\epsilon) (N_{\epsilon t}/v_{\epsilon t} - 1),  t>0

gdzie F(\epsilon) jest czynnikiem normującym, zależnym od \epsilon i od postaci miary Lambda. Okazuje się, że normowanie oraz granica w istotny sposób zależą od Lambda. Dla pewnej klasy miar Lambda (zawierającej w szczególności ważną klasę rozkładów Beta na [0,1]) pokazujemy, że procesy X_\epsilon zbiegają wg. rozkładów w przestrzeni Skorochoda D([0,\infty)) do procesu stabilnego.

Na podstawie wspólnej pracy z V. Limic.