Fale biegnące o dwóch frontach i system Jacobiego-Tody

Rozważmy następujące równanie nieliniowe paraboliczne:
u_t = Δu + f(u) w R^(N+1) × R_+,
Fala biegnąca w kierunku osi x_(N+1) jest postaci u(x, t) = U(x', x_(N+1) − ct), x' in R^N, gdzie
c jest prędkością fali i U jest rozwiązaniem następującego równania eliptycznego:
ΔU + ∂_(x_(N+1))U + f(U) = 0, w R^(N+1).
W przypadku gdy f(u) = u(1 − u^2), tzn. f posiada dwa stabilne zera (fazy) u = ±1
znane są rozwiązania tego równania o własności lim_(x_(N+1→±∞)) U(·, x_(N+1)) = ±1. Inaczej: fala biegnąca odpowiada sytuacji gdy jeden ze stanów stabilnych jest pochłaniany przez drugi
stan stabilny. W pewnym sensie jest to sytuacja typowa w teorii fal biegnących. Wspólnie z
M. del Pino i J. Wei skonstruowaliśmy rozwiązania będące falami biegnącymi, które maja
dwa fronty i spełniają: lim_(x_(N+1→±∞)) U(·, x_(N+1)) = 1. W tym przypadku istnienie tego typu
rozwiązań, w których stan stabilny ”pochłania” sam siebie, jest raczej zaskakujące. Nasza
konstrukcja jest oparta na wykazaniu istnienia rozwiązań dla pewnego systemu Jacobiego-Tody.