Mówimy, że \sigma-ideał I na przestrzeni X ma własność "1-1 lub stała", jeśli każdą funkcję borelowską
określoną na I-pozytywnym zbiorze borelowskim można obciąć do I-pozytywnego podzbioru, na którym
funkcja staje się 1-1 lub stała. W języku forcingowym odpowiada to zjawisku dodawania jednego stopnia
rzeczywistego przez forcing P_I. Klasyczne znane przykłady \sigma-ideałów o własności "1-1 lub stała"
obejmują: \sigma-ideał zbiorów przeliczalnych na $2^\omega$ (forcing Sacksa) i \sigma-ideał zbiorów
\sigma-zwartych na przestrzeni Baire'a (forcing Millera). Z drugiej strony, przykładem, dla którego ta
własność drastycznie nie zachodzi jest \sigma-ideał zbiorów pierwszej kategorii (forcing Cohena) lub
dowolny \sigma-ideał I, dla którego P_I dodaje liczbę Cohena. W trakcie referatu udowodnię, ze zachodzi
następująca dychotomia: Twierdzenie. Niech I będzie \sigma-ideałem generowanym przez zbiory domknięte
na przestrzeni polskiej X. Wtedy (i) albo I ma własność "1-1 lub stała", (ii) albo P_I dodaje liczbę Cohena.
Warto wspomnieć, że stwierdzenie, że P_I dodaje liczbę Cohena ma również czysto topologiczne
sformułowanie: istnieje borelowski I-pozytywny zbiór B i borelowska funkcja f:B-->2^\omega taka, że
przeciwobrazy przez f zbiorów pierwszej kategorii należą do I. Zaprezentowane wyniki są wspólne z
J. Zapletalem.
Nie jesteś zalogowany |
