Charakteryzacja funkcjonałów mających własność tensoryzacji

Ważną własnością pewnych nierówności funkcyjnych dla miar probabilistycznych, np. nierówności Poincare czy logarytmicznej nierówności Sobolewa, jest tensoryzacja (prawdziwość nierówności dla pewnych miar implikuje jej prawdziwość dla produktu tych miar). Jest ona ściśle związana z wypukłością funkcjonału \Psi(Z) = E\phi(Z) - \phi(EZ) (funkcją \phi w przypadku nier. Poincare i Sobolewa jest odp. x^2 i x^2 log x), a równoważnie -- z nieujemnością jego drugiej iteracji: \Psi_2(Z) = E_2\Psi(Z) - \Psi(E_2 Z), gdzie Z jest określone na produkcie dwóch przestrzeni. Charakteryzacja powyższej własności w terminach funkcji \phi pochodzi od Latały i Oleszkiewicza. Naturalne jest pytanie o własności wyższych iteracji funkcjonału \Psi. Pokażemy m.in., że dla n>1 n-ta iteracja funkcjonału \Psi jest funkcjonałem wypukłym (równoważnie (n+1)-wsza iteracja \Psi jest nieujemna) wtw. gdy $\phi$ jest funkcją kwadratową.