You are not logged in | Log in

Speaker(s): Paweł Goldstein
Affiliation: Instytut Matematyki
Date: Nov. 7, 2019, 2:30 p.m.
Room: room 2180
Title in Polish: Niezmienniki topologiczne dla przekształceń nieciągłych
Seminar: Colloquium Of MIM

W pochodnej przekształcenia różniczkowalnego zakodowane jest wiele informacji o jego topologicznych własnościach: ze znaku jakobianu możemy odczytać, czy zachowana jest orientacja; znając pochodną możemy ustalić stopień topologiczny i inne niezmienniki topologii różniczkowej. Jednak w realnych zastosowaniach matematyki nieczęsto mamy do czynienia z przekształceniami wszędzie różniczkowalnymi - materia pęka, łamie się, topi i odparowuje; dla opisu tych zjawisk w rachunku wariacyjnym i równaniach różniczkowych ważniejsze i naturalniejsze są przekształcenia słabo różniczkowalne, np. należące do przestrzeni Sobolewa. Takie przekształcenia nie tylko nie muszą być różniczkowalne, ale wręcz mogą być nigdzie nieciągłe. Mimo to w wielu przypadkach możemy definiować dla nich niezmienniki topologii różniczkowej, używając we wzorach słabej pochodnej tam, gdzie powinniśmy wstawić klasyczną pochodną. Czy jednak podejście to ma jakikolwiek sens? I czy jest z niego z tego jakiś pożytek? Okazuje się, że tak, i że metody i intuicje topologii różniczkowej pozwalają rozstrzygać naturalne i ważne pytania w analizie geometrycznej i podstawach rachunku wariacyjnego.

Many topological properties of a differentiable mapping can be read from the behavior of its derivative, e.g., the sign of the Jacobian determines whether the mapping preserves, or reverses the orientation; we can calculate, using the derivative, the topological degree and other invariants of differential topology. However, in real life applications we rarely deal with everywhere differentiable mappings: materials break, fold, melt and evaporate; we describe these phenomena using the framework of variational calculus and differential equations, and weakly differentiable (e.g., Sobolev) mappings prove to be a more natural and useful class. Such mappings need not be differentiable in the classical sense, in fact, they can even be nowhere continuous. However, we can still compute their differential topology invariants, substituting the weak derivative wherever we would use the classical one. Does this approach make any sense? And is it of any practical use? It turns out that yes: the methods and intuitions of differential topology allow us to solve natural and important problems in geometric analysis and in foundations of variational calculus.

Topological invariants for discontinuous mappings

Careers

Website