Grupy pętli czyli afiniczne grassmanniany

Grupy pętli Map_*(S^1,G) dla zwartej grupy Liego były badane od dawna. Mają one swój geometryczny model będący ind-rozmaitością algebraiczną Gr_G=G_C(K)/G_C(R), gdzie K jest ciałem szeregów Laurenta, R pierścieniem Laurenta, a G_C jest kompleksyfikacją grupy G. W tej inkarnacji grupy pętli są nazywane afinicznym grassmannianem. Jest on wstępującą sumą zbiorów algebraicznych, które mają rozkłady na algebraiczne komórki. W przypadku G=SU_n, G_C=SL_n(C) afiniczny grassmannian ma filtrację algebraicznymi zbiorami F_m, które można zanurzyć w klasyczny grassmannian mn-wymiarowych przestrzeni w C^{2mn}. Zbiory te skłądają się z podprzestrzeni niezmienniczych ze względu na pewien operator nilpotentny. Opiszę jak to wygląda w najprostszym przykładzie dla n=2 i obliczę parę przykładów niezmienników kohomologicznych komórek.