Warunkowe wartości oczekiwane dla wolnych zmiennych i związki z macierzami losowymi

Badania w wolnej probabilistyce od końca lat 90 skupiają się na narzędziach pochodzących z tzw. subordynacji wolnego splotu udowodnionej przez Biane'a, która mówi, że dla $X,Y$ wolnych $E((z-X-Y)^{-1}|X)=(\omega(z)-X)^{-1}. Do tej pory nieznane były narzędzia pozwalające na badanie warunkowych wartości oczekiwanych $X$ pod warunkiem funkcji zależnej od X i Y (np. X+Y czy XY).  W trakcie referatu przedstawię dwie metody na rozwiązanie tego problemu:

• W pierwszej części referatu przedstawię w jaki sposób c-freeness zdefiniowany przez Bożejkę, Leinerta i Speichera pozwala znajdować warunkowe wartości oczekiwane postaci $E((z-X)^{-1}|f(X,Y))$ dla ogólnej funkcji $f$.
• W dalszej części referatu skupię się na przykładzie $f(X,Y)=X+Y$. Zdefiniuję miarę na $R^2$, która może być interpretowana jako rozkład łączny pary $(X,X+Y)$.  Opierając się na subordynacji pokażę, że miara ta jest absolutnie ciągła względem miary produktowej o rozkładach brzegowych równych rozkładom $X$ i $X+Y$ odpowiednio. Niech $o(x,y)$ oznacza pochodną Radona-Nikodyma "rozkładu łącznego" $(X,X+Y)$ względem miary produktowej, wyjaśnię w jaki sposób funkcja $o(x,y)$ pozwala znajdować interesujące nas warunkowe wartości oczekiwane.
  Rozważając aproksymację pary wolnych zmiennych $(X,Y)$ macierzami losowymi $(X_N,Y_N)$  pokażę, że "rozkład łączny", a w szczególności funkcja $o(x,y)$ jest ściśle związana z łącznym, asymptotycznym zachowaniem wektorów własnych macierzy losowych $X_N$ i $X_N+Y_N$.

 

Prezentowane wyniki są wspólne z A. Nica (University of Waterloo) i M. Fevrier (Université Paris-Saclay).