Proces bi-q-Poissona jako przykład kwadratowego harnessu

Kwadratowy harness to proces stochastyczny, dla którego warunkowe wartości oczekiwane i warunkowe wariancje przy warunkowaniu łącznie względem przeszłości i przyszłości sa odpowiednio funkcjami: liniową i kwadratową, sąsiadów stanu warunkowanego. Omówiona będzie konstrukcja procesu bi-q-Poissona - kwadratowego harnessu, dla którego warunkowe wariancje względem przeszłości i warunkowe wariancje względem przeszłości są liniowe. Konstrukcja ta jest modelowa w tym sensie, ze wszystkie znane kwadratowe harnessy konstruuje się w analogiczny sposób. Polega ona na (1) wykazaniu, ze proces Markowa, dla którego pewna rodzina wielomianów jest martyngałowa i ortogonalna jest kwadratowym harnessem oraz (2) na konstrukcji takiego właśnie procesu Markowa przez określenie pewnych klas wielomianów ortogonalizowanych przez miary probabilistyczne tworzące rodzinę markowską.