On classical algebraic structures on higher-order analogs of Lie Algebroids

Speaker(s)

Mikołaj Rotkiewicz

Affiliation

MIMUW

Language of the talk

English

Date

March 5, 2025, 10:15 a.m.

Room

room 4070

Title in Polish

O klasycznych strukturach algebraicznych na wyższych analogach algebroidów Liego

Seminar

Seminar Algebraic Topology

---

Pojęcie \emph{algebroidu wyższego rzędu}, wprowadzone w pracy
\emph{Higher-order analogs of Lie algebroids via vector bundle
comorphisms} (M. Jóźwikowski, M. Rotkiewicz, SIGMA 2018), stanowi
uogólnienie zarówno wiązki stycznej rzędu $k$, $\tau^k_M: \mathrm{T}^k M
\to M$, jak i algebroidu Liego. Kluczowa idea polega na tym, że w
przeciwieństwie do klasycznej definicji algebroidu Liego jako wiązki
wektorowej wyposażonej kotwicę oraz nawias Liego na przestrzeni jej
cięć, definicja oparta na komorfizmach pewnych wiązek wektorowych
pozwala na naturalne rozszerzenie tego pojęcia na wyższe rzędy. Co
więcej, takie podejście jest dobrze uzasadnione z perspektywy mechaniki
geometrycznej na algebroidach.

Alternatywny opis algebroidu Liego $(A, [\cdot, \cdot], \sharp)$ polega
na rozważeniu komorfizmu wiązek wektorowych $\kappa$, który jest
odwzorowaniem sprzężonym do  przekształcenia Poissona $\varepsilon:
\mathrm{T}^\ast A \to \mathrm{T} A^\ast$ związanego z algebroidem Liego
$A$. Ten sam komorfizm pojawia się w procedurze redukcji homotopii z
poziomu grupoidów Liego do poziomu algebroidów Liego, dostarczając
alternatywnej definicji funktora Liego.

W referacie wprowadzę pojęcie algebroidów wyższego rzędu i, bazując na
najnowszej pracy [MR2024], wyjaśnię, jakie klasyczne struktury
algebraiczne kryją się za opisem algebroidów wyższego rzędu za pomocą
komorfizmów.  W szczególności dla przypadku $k=2$ zaprezentuję wzajemną
odpowiedniość między algebroidami Liego drugiego rzędu a pewnymi
morfizmami do reprezentacji dołączonej w kategorii reprezentacji
algebroidów Liego z dokładnością do homotopii.

[MR2024], Mikołaj Rotkiewicz, Exploring the Structure of Higher
Algebroids, 2024, arXiv:2408.02194.
\

---

The notion of a \emph{higher-order algebroid}, as introduced by
Jóźwikowski and Rotkiewicz in \emph{Higher-order analogs of Lie
algebroids via vector bundle comorphisms} (SIGMA 2018), generalizes the
concepts of a higher-order tangent bundle $\tau^k_M: \mathrm{T}^k M \to
M$ and a (Lie) algebroid. This idea is based on a (vector bundle)
comorphism approach to (Lie) algebroids and
the reduction procedure of homotopies from the level of Lie groupoids to
that of Lie algebroids.
In brief, an alternative description of a Lie algebroid $(A, [\cdot,
\cdot], \sharp)$  is  a vector bundle comorphism $\kappa$, defined as
the dual of the vector bundle morphism  $\varepsilon: \mathrm{T}^\ast A
\to \mathrm{T} A^\ast$ (a Poisson map) associated with the  Lie
algebroid $A$. The framework of comorphisms has proven to be a suitable
language for describing higher-order analogues of Lie algebroids from
the perspective of the role played by (Lie) algebroids in geometric
mechanics.

In my talk, I will introduce the notion of higher algebroids and,
drawing from recent preprint [MR2024], explain how to uncover the
classical algebraic structures that underpin the intricate description
of higher-order algebroids via comorphisms. Specifically, in the case
$k=2$, I will demonstrate a one-to-one correspondence between
higher-order Lie algebroids and pairs consisting of a two-term
representation (up to homotopy) of a Lie algebroid and a morphism to the
adjoint representation of that algebroid.

[MR2024], Mikołaj Rotkiewicz, Exploring the Structure of Higher
Algebroids, 2024, arXiv:2408.02194.

 

---