O pewnej nowej własności klas $ VC$- w-g Adamsa i Nobla

Udowodnimy, że jeśli ${\cal C}$ jest VC klasą podzbiorów $ {\cal F}$ w przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, {\cal F}, P)$ wówczas $$\lim_{\cal P}\sup_{C \in {cal C}}\sum_{A\in {cal P}: P(A\cap C)P(A\cap C')>0 } P(A) = 0,$$ gdzie $\lim $ jest po skierowanej klasie skończonych partycji $\cal P$ zbiorami z ${\cal F}$. Z powyższego faktu wyprowadzę wniosek, że jeśli ciąg losowy miar probabilistycznych $P_n$ na $(\Omega, {\cal F}$ jest taki że dla każdego $A \in \cal F$ jest $\lim_nP_n(A) = P(A)$ p.n., wówczas p.n zbieżność ta jest jednostajna na każdej przeliczalnej klasie ${\cal C} \subset \cal F$.