O dyfuzjach dopasowanych

Idea dopasowanych dyfuzji wychodzi z faktu przemienności operatorów półgrupy i infinitezymalnego dla procesów fellerowskich. W odróżnieniu od klasycznego ujęcia tematu, rozważamy funkcję dwóch argumentów,  dla której przemienność  operatorów rozumiemy nieco inaczej: zmiana kolejności działania operatorów zmienia role argumentów rozważanej funkcji - do danej dyfuzji $\hat{X}$ dopasujemy drugą dyfuzję $X$ (niekoniecznie z tej samej przestrzeni probabilistycznej) tak, by $P_t \hat{A}f=  AP_t f - Vf$, gdzie $V$ jest pewną nieujemną funkcją, a $\hat{A}, A$ są generatorami odpowiednich dyfuzji. Okazuje się, że takie stowarzyszenie dyfuzji $\hat{X}, X$ wraz z twierdzeniem Feynmana-Kaca prowadzi do uniwersalnej techniki wyznaczania jednowymiarowych rozkładów dyfuzji. Przykładowo metoda (z pewną modyfikacją) pozwala scharakteryzować rodzinę uogólnionych procesów Bessla odrywając się zupełnie od addytywności, dzięki której udało się pierwotnie znaleźć rozkład klasycznego procesu Bessla. Metoda dopasowania rzuca nowe światło na związek rozkładów dyfuzji z rozwiązaniami równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu - w szczególności przedstawimy probabilistyczną reprezentację klasy rozwiązań równań hiperbolicznych (twierdzenie Feynmana-Kaca daje reprezentację klasy rozwiązań równań eliptycznych). Uniwersalizm metody zostanie poparty wieloma innymi przykładami.