Nierówności Poincare i znikanie kohomologii

Wlasność (T) Kazhdana dla grupy G jest równowazna temu, że kohomologie H^1(G,\pi) znikają dla dowolnej reprezentacji unitarnej pi grupy G na przestrzeni Hilberta. My zajmiemy się wzmocnieniem tej własności: będziemy zainteresowani znikaniem kohomologii H^1(G,\pi), gdzie reprezentacja pi jest reprezentacją izometryczną na przestrzeni Banacha, np. L_p. Zaprezentuję warunek gwarantujacy znikanie takich kohomologii, gdzie pi jest reprezentacją na refleksywnej przestrzeni Banacha. Warunek ten wyraża się w terminach nierowności Poincare i w przypadku przestrzeni Hilberta zredukuje się do tzw. warunku spektralnego na wlasnosc (T), rozważanego przez Pansu, Zuka, Ballmanna, Światkowskiego i wielu innych. Jako zastosowania pokażemy oszacowania na wymiar konforemny brzegu losowej grupy hiperbolicznej i oszacowania na znikanie kohomologii o wspołczynnikach w jednostajnie oganiczonych reprezentacjach na przestrzeniach Hilberta.