Mocna ultrakontraktywność stabilnych półgrup schroedingerowskich i miary Gibbsa dla symetrycznych procesów stabilnych.

Pojęcie mocnej ultrakontraktywności (ang. intrinsic ultracontractivity) zostało wprowadzone przez Daviesa i Simona w 1984 roku dla szerokiej klasy półgrup operatorów (m.in. dla klasycznych półgrup schroedingerowskich). W istocie jest to własność ultrakontraktywności tzw. półgrupy wewnętrznej (ang. intrinsic semigroup) stowarzyszonej z wyjściową półgrupą. Wiadomo, że w przypadku klasycznych półgrup Feynmana-Kaca związanych z laplasjanem z potencjałem wielomianowym graniczny wzrost potencjału dla mocnej ultrakontraktywności jest kwadratowy.

W trakcie referatu podamy charakteryzację mocnej ultrakontraktywności półgrup Feynmana-Kaca symetrycznego procesu stabilnego z tzw. potencjałami Kato-rozkładalnymi w przestrzeniach euklidesowych, związanych z ułamkowymi operatorami Schroedingera. Znajdziemy warunek konieczny i warunek wystarczający wyrażone przez zachowanie potencjału w nieskończoności. W szczególności wykażemy, że granicznym wzrostem potencjału dla mocnej ultrakontraktywności jest wzrost logarytmiczny. Znajdziemy również dwustronne oszacowanie funkcji własnej stanu podstawowego (tj. funkcji własnej odpowiadającej najmniejszej wartości własnej) w nieskończoności. Porównamy nasze wyniki z rezultatami klasycznymi. Na zakończenie wprowadzimy pojęcie miary Gibbsa związanej z symetrycznym procesem stabilnym i danym potencjałem Kato-rozkładalnym oraz omówimy w jaki sposób powyższe rezultaty mogą być zastosowane do badania jednoznaczności takich miar. Wszystkie prezentowane wyniki zostały uzyskane metodami probabilistycznymi.