Macierze losowe o niezależnych, logarytmicznie wklęsłych wierszach

Zamierzam przedstawić niedawne wyniki uzyskane wspólnie z A. Litvakiem, A. Pajor i N. Tomczak-Jaegermann, dot. macierzy losowej $A$, której wiersze są niezależne o rozkładzie logarytmicznie wklęsłym, izotropowym. Przedstawię optymalne oszacowanie normy operatorowej macierzy $A$ oraz wykażę, że dla $\varepsilon \in (0,1)$, jeśli $N \ge C(\varepsilon)n$, gdzie $N,n$ -- odp. liczba wierszy i kolumn $A$, to $A$ stanowi $1+\varepsilon$ izometryczne włożenie przestrzeni $\R^n$ w $\R^N$. Wynik ten jest odpowiedzią na pytanie postawione w 1997 r. przez Kannana, Lovasza i Simonovitsa i ma zastosowanie w badaniu złożoności algorytmów Monte-Carlo obliczających objętość wysokowymiarowych zbiorów wypukłych. Jeśli czas pozwoli, wspomnę również o wynikach dot. zachowania najmniejszej wartości singularnej $A$ w przypadku $N= n$ (wynik wspólny z ww. autorami oraz O. Guedon) oraz o zachowaniu rozkładu empirycznego wartości singularnych $A$ dla $N/n \to c > 1$ (Tw. Pajora-Pastura).