You are not logged in | Log in

Typowy problem w teorii Ramsey'a na przestrzeni polskiej

X wyglada nastepujaco: dla danego analitycznego zbioru

$E\subseteq[X]^2$ oraz sigma-idealu I na X znalezc borelowski zbior

$B\notin I$ taki, ze $[B]^2\subseteq E$ lub $[B]^2\cap E=\emptyset$.

Jesli $E$ jest relacja rownowaznosci, to oznacza ze na zbiorze $B$

relacja $E$ jest jedna z dwoch trywialnych relacji: identycznosc lub

wszystko. Latwiejszy problem: dla danej analitycznej relacji

rownowaznosci $E$ znalezc borelowski zbior $B\notin I$ taki, ze

$E\restriction B$ jest scisle prostsza w sensie borelowskiej

redukowalnosci od relacji $E$ (np. $E\restriction B$ jest gladka gdy

$E$ nie jest gladka). Istnieje szereg klasycznych wynikow tego typu,

ktore dotycza szczegolnych przykladow sigma-idealow $I$ lub relacji

$E$. Bardziej jednostajne podejscie mozna zrealizowac w jezyku

definiowalnego forcingu wlasciwego. Dla danej przestrzeni polskiej $X$

oraz sigma-idealu $I$ rozwazamy forcing $P_I$ zbiorow borelowskich

spoza $I$, uporzadkowanych przez inkluzje. Wlasciwosci forcingowe

$P_I$ czesto zaleza od analitycznych i deskryptywnych wlasciwosci

sigma-idealu $I$, ale w wiekszosci interesujacych przykladow wspolna

cecha forcingow $P_I$ jest to, ze sa wlasciwe. Okazuje sie, ze

definiowalny forcing wlasciwy moze byc stosowany w badaniu

analitycznych relacji rownowaznosci i w kanonicznej teorii Ramsey'a. W

tym odczycie omowie niedawne wyniki na tym polu. Jest to wspolna praca

z W. Kanowiejem i J. Zapletalem.

Kanoniczna teoria Ramsey'a na przestrzeniach polskich