Grupy Coxetera jako algebraiczne wiązki nad S^1

Abstrakt: Mówimy, że grupa jest “algebraiczną wiązka nad S^1” jeśli przyjmuje epimorfizm do Z ze skończenie generowanym jądrem. Twierdzenie Stallingsa o rozwłóknianiu 3-rozmaitości mówi, że zamknięta, nieredukowalna 3-rozmaitość jest wiązka nad S^1, której włókna są homeomorficzne z zamkniętymi powierzchniami, wtedy i tylko wtedy gdy jej grupa podstawowa jest algebraiczną wiązka nad S^1.

Grupy Coxetera są uogólnieniem grup odbić generowanych przez odbicia względem hiperpowierzchni w przestrzeni Euklidesowej. We wspólnej pracy z Norinem i Wisem, badamy które grupy Coxeter rozwłókniają się jako algebraiczne wiązki nad S^1. W szczególności formułujemy kombinatoryczne kryterium na takie rozwłóknienie w języku grafu definiującego grupę Coxetera. Znajdujemy też pierwsze znane przykłady hiperbolicznych 4-rozmaitości, których grupy podstawowe są  algebraicznymi wiązkami nad S^1.

Bazując na naszej konstrukcji, Italiano-Martelli-Migliorini skonstruowali przykłady hiperbolicznych 5-rozmaitości o skończonej objętości, które są wiązkami nad S^1. W szczególności znaleźli oni przykłady grupy hiperbolicznej w sensie Gromova, która posiada nie-hiperboliczną podgrupę skończonego typu (tzn będącą grupą podstawową skończonego asferycznego CW-kompleksu), dając odpowiedź na jedno z najbardziej znanych otwartych problemów geometrycznej teorii grup.