Gra Telgarskiego a multiplikatywność parazwartości

Speaker(s)

Kazimierz Alster

Affiliation

UKSW

Date

May 23, 2018, 4:15 p.m.

Room

room 5050

Seminar

Topology and Set Theory Seminar

---

Ogólnym problemem dotyczącym multiplikatywności parazwartości jest pytanie o charakteryzację klasy P przestrzeni parazwartych, których iloczyn kartezjański z dowolną przestrzenią parazwartą jest parazwarty a także związane z nim problemy:

Czy klasa P jest zamknięta ze względu na domknięte obrazy?

Czy przeliczalna potęga elementu z klasy P jest parazwarta?

W związku z badaniem multiplikatywności parazwartości R.Telgarski zdefiniował grę G(DC,X) w przestrzeni topologicznej X. Gra G(DC,X) w przestrzeni X jest grą, w której bierze udział dwóch graczy, którzy na przemian wybierają podzbiory domknięte F(n) przestrzeni X (gracz pierwszy - indeksowane liczbami naturalnymi nieparzystymi, a gracz drugi - liczbami parzystymi) tak, że spełnione są następujące warunki:

1. zbiory wybierane przez pierwszego gracza są sumą dyskretnej rodziny zbiorów zwartych,

2. zbiory wybierane przez drugiego gracza są rozłączne z sumą zbiorów wybranych przez pierwszego gracza w krokach wcześniejszych,

3. zbiory wybierane przez drugiego gracza tworzą ciąg zbiorów zstępujących,

4. zbiór F(2n+1) jest zawarty w F(2n), dla n=1,2,.. .

Gracz pierwszy jest zwycięzcą gry, jeśli przecięcie zbiorów wybranych przez drugiego gracza jest zbiorem pustym. Sformułowałem następujący problem, który nazwałem hipotezą Telgarskiego (HT):

X należy do klasy P wtedy i tylko wtedy gdy X jest parazwarta i pierwszy gracz gry G(DC,X) ma strategię zwycięską.

Telgarsky pokazał, że jeśli pierwszy gracz gry G(DC,X) ma strategię zwycięską i X jest parazwarta, to X należy do klasy P. Odwrotna implikacja jest problemem otwartym. Przedstawię pewne częściowe wyniki potwierdzające (HT) a także sformułuję pytania wiążące się z (HT).

---