Entropia iloczynu procesów

Rozpatrzmy dwa procesy stacjonarne X = (X_i)_i, Y = (Y_i)_i indeksowane liczbami całkowitymi, gdzie X_i i Y_i przyjmuja skończenie wiele wartości rzeczywistych. Powiemy, że proces Z jest splotem multiplikatywnym X i Y o ile Z jest iloczynem (po współrzędnych) tych procesów czyli Z = XY = (X_i Y_i)_i. W swoim referacie zajme sie dwoma problemami zwiazanymi ze splotami multiplikatywnymi procesów.

 

1) Jeśli Y jest procesem binarnym, tzn Y_i przyjmuje tylko dwie wartosci 0 i 1, oraz X zinterpretujemy jako sygnał, to wtedy o procesie XY można myśleć jako o zaburzonym sygnale X, w którym pewne bity danych zostały utracone (wskutek tych indeksow i, dla ktorych Y_i = 0). Jest (chyba) dosyć intuicyjne to, że dla przeważającej wiekszości par procesów X i Y odzyskanie utraconego sygnału (tzn odzyskanie X z XY) jest niemożliwe. W tej cześci pokażę (na podstawie wspólnej pracy z Joanną Kułagą-Przymus, patrz https://arxiv.org/abs/2004.07648), jak można użyć pojęcia entropi procesu do skonstruowania kryterium na BRAK możliwości odzyskania sygnału. Pokrótce opowiem tez o analogu tego problemu dla splotu addytywnego, który postawil (i rozwiązał) Furstenberg.

 

2) Drugie zagadnienie ma swoje korzenie w układach dynamicznych a dokładnie w układach B-wolnych a jeszcze dokladniej w pytaniach postawionych przez Joannę Kułagę-Przymus, Mariusza Lemańczyka oraz Benjamina Weissa w pracy "On invariant measures for B-free systems". W języku stacjonarnych procesów X i Y, gdzie Y jest binarny i ma zerową entropię a entropia X jest ścisle dodatnia, można je przeformułować następująco:

a) czy istnieje ogólny wzór na entropię procesu XY?

b) czy zawsze/kiedy XY ma entropię dodatnia?

c) czy moze sie tak zdarzyc ze entropie X i XY sa równe?