Dychotomia w kanonizacji analitycznych relacji równoważności

Streszczenie: Pokażę i omówię zjawisko, które pojawia się w próbie kanonizacji analitycznych relacji równoważności. Załóżmy, że forcing $P_I$ dodaje minimalne rozszerzenie forcingowe. Wówczas, jeśli $E$ jest analityczną relacją równoważności na przestrzeni polskiej, to zachodzi jeden z dwóch poniższych przypadków: - istnieje borelowski zbiór $B\notin I$, który składa się z elementów, $E$-niezależnych (tzn. $E$ kanonizuje się do identyczności) - istnieje borelowski zbiór $B\notin I$ taki, że $E|B$ jest ergodyczna. Ergodyczność wystepująca powyżej jest naturalnym uogólnieniem ergodyczności względem miary i mówi, że dla dowolnych dwóch zbiorów $B_1,B_1\notin I$, $E$-nasycenia zbiorów $B_1$ i $B_2$ przecinają się. Przedstawię przykłady obu powyższych typów zachowania i naszkicuję dowód tego wyniku. Dowód będzie wykorzystywał odpowiednio dobrane generyczne ultrapotęgi. Omówię też zastosowania tego wyniku do uogólnienia wyników Kechrisa i Hjortha o ergodyczności relacji $E_2$. Wyniki te są częścią monografii wspólnej z J. Zapletalem i W. Kanowiejem.