Wymiar Hausdorffa końców włosów i włosów bez końców dla pewnych funkcji całkowitych

Niech f będzie hiperboliczną funkcją całkowitą skończonego rzędu z jedną składową Fatou. Wtedy zbiór Julii funkcji f składa się z rozłącznych krzywych (tzw. włosów), homeomorficznych z półprostą, uciekających do nieskończoności. Pokażemy następujący paradoksalny fakt: wymiar Hausdorffa zbioru końców (a właściwie początków) tych włosów jest bardzo duży (równy 2), a wymiar sumy włosów bez końców - bardzo mały (równy 1). Jest to uogólnienie wyników B. Karpińskiej dla rodziny eksponencjalnej.