Wpisywanie zbiorów niemierzalnych

Inspiracją dla przedstawionych wyników jest rezultat Gitika-Shelaha stanowiący, że dowolną przeliczalną rodzinę A_n podzbiorów prostej rzeczywistej można odchudzić (tzn. znalęźć zbiory B_n\subseteq A_n)  tak, aby zbiory B_n były parami rozłączne oraz miara zewnętrzna  B_n była równa mierze zewnętrzej A_n. Pokazujemy analogiczny wynik dla kategorii, a dokładniej dowodzimy twierdzenia: Załóżmy, że A jest dowolną partycją prostej na zbiory pierwszej kategorii. Niech A_n\subseteq A dla n\in\omega. Wtedy istnieje rodzina {B_n : n\in\omega}parami rozłącznych zbiorów czyniąca zadość warunkom:* B_n\subseteq A_n,   * [\bigcup B_n]_K=[\bigcup A_n]_K.[X]_K oznacza tu borelowską otoczkę zbioru X względem ideału zbiorów pierwszej kategorii K. Podobne hipotezę mozna wysłowić zatem dla ideałów z własnością otoczki. W sazczególności, ideały z własnością Suslina mają własność otoczki. Uzyskaliśmy następujący rezultat dotyczący ideałów I z własnością c.c.c (i bazą borelowską): Załóżmy, że nie istnieje liczba quasi-mierzalna mniejsza niż continuum. Niech A będzie punktowo skończonym ppokryciem prostej  zbiorami z ideału I.Ustalmy A_n\subseteq A dla n\in\omega. Wtedy istnieje rodzina parami rozłącznych zbiorów {B_n : n\in\omega} o własnosciach:* B_n\subseteq A_n,* [\bigcup B_n]_I=[\bigcup A_n]_I.Wynik ten bazuje na uzyskanym wcześniej, wspólnie z R. Rałowskim, twierdzeniu o znajdowaniu podrodzin o całkowicie I-niemierzalnej sumie.