Własności spektralne półgrup przejścia zabitego procesu Cauchy'ego na półprostej i odcinku

Przedstawione zostaną uzyskane wraz z T. Kulczyckim wyniki dotyczące funkcji i wartości własnych półgrupy przejścia jednowymiarowego procesu Cauchy'ego zabitego przy wyjściu z półprostej lub odcinka. W pierwszym przypadku spektrum tej półgrupy jest ciągłe, lecz istnieją ograniczone i ciągłe funkcje własne. Zostaną one wyrażone jawnym wzórem w postaci sumy sinusa i funkcji całkowicie monotonicznej. W ten sposób można uzyskać jawny wzór na gęstość prawdopodobieństwa przejścia procesu zabitego oraz reprezentację spektralną jego półgrupy przejścia. Półgrupa procesu zabitego przy wyjściu z odcinka ma dyskretne spektrum. Korzystając z jawnych wzorów opisanych powyżej, można skonstruować przybliżenia funkcji własnych na odcinku. W ten sposób uzyskuje się asymptotykę wartości własnych, ich jednokrotność oraz jednostajne oszacowania funkcji własnych.