Uzupełnienia Dedekinda-MacNeilla

Dla dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego P istnieje jego kowolne
uzupełnienie \hat{P} do częściowego porządku posiadającego wszystkie
kresy. \hat{P} można zdefiniować jako zbiór domkniętych w dół podzbiorów
$P$ z naturalnie indukowanym porządkiem.

Takie uzupełnienie zachowuje wszystkie istniejące kresy górne w P i
żadnego nietrywialnego kresu dolnego. Analogicznie, dualna konstrukcja
\hat{P}^* stanowi wolne uzupełnienie P (zachowuje wszystkie istniejące
kresy dolne i żadnego nietrywialnego kresu górnego).

Inteligentnie łącząc obydwie konstrukcje, możemy otrzymać uzupełnienie P
(tzw. uzupełnienie Dedekinda-MacNeilla) do zbioru częściowo
uporządkowanego DM(P) posiadającego wszystkie kresy i zachowującego
dowolne kresy istniejące z P.

Na seminarium opowiem o tym skąd te trzy konstrukcje naprawdę się biorą
i w jaki sposób łączą (wielowymiarową) geometrię z (wielowymiarowymi)
algebrami.