Subordynowany ruch Browna na półprostej

Procesy Lévy'ego (czy szerzej procesy Markowa) zabite w chwili wyjścia ze zbioru otwartego mają związek z wieloma klasycznymi zagadnieniami analizy i od dawna są tematem badań. W ostatnich latach ukazało się wiele prac poświęconych oszacowaniom gęstości prawdopodobieństwa przejścia takich procesów. Innym badanym obiektem są wartości własne i funkcje własne operatorów przejścia takich procesów.

W moim niedawnym artykule z T. Kulczyckim, J. Małeckim i A. Stósem w tym kontekście rozważany jest tzw. jednowymiarowy proces Cauchy'ego (symetryczny proces 1-stabilny). Wyniki tej pracy zawierają jawny wzór na prawdopodobieństwo przejścia procesu na półprostej oraz dwuczłonowe rozwinięcie asymptotyczne wartości własnych procesu na odcinku. Aby otrzymać te rezultaty, wyprowadza się jawny wzór na funkcje własne półgrupy procesu na półprostej.

Przedstawię metodę uzyskania wzoru na funkcje własne operatorów przejścia procesu na półprostej w ogólniejszym kontekście, gdy rozważany proces jest subordynowanym ruchem Browna. Wyprowadzenie polega na zastosowaniu tzw.metody Wienera-Hopfa dla operatorów związanych z procesem. Warto podkreślić, że metoda Wienera-Hopfa zastosowana do innych operatorów leży u podstaw teorii fluktuacji procesów Lévy'ego. Oba wspomniane zastosowania tej metody wydają się jednak niezależne od siebie.