Punkty stałe niejednorodnej transformaty gładzącej w przypadku krytycznym

Dla danych nieujemnych zmiennych losowych $B, A_1, A_2, A_3\dots$ rozważamy przekształcanie $\Phi:\mu\mapsto\Phi(\mu)$ miar probabilistycznych zadane jako rozkład $\sum_i A_i X_i + B$, przy czym $(X_i)_{i\in\mathbb N}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie $\mu$ niezależnym od $B, A_1, A_2, A_3\dots$. Naszym celem jest zbadanie punktów stałych przekształcania $\Phi$. W szczególności chcemy wiedzieć przy jakich założeniach równanie $\Phi(\mu)=\mu$ ma rozwiązanie. Ponadto, interesuje nas również asymptotyka rozwiązania $\mu$ w nieskończoności. Okazuję się, że kluczową jest tutaj funkcja $m(s)=\mathbb{E}\big[\sum_i A_i^s \big]$. Podczas referatu skupimy się na przypadku gdy wykres $m$ jest styczny do prostej $y=1$ (przypadek \emph{krytyczny}).