You are not logged in |
Optymalność algorytmów typu Eulera w zadaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych z nieciągłymi współczynnikami
- Speaker(s)
- Paweł Przybyłowicz
- Affiliation
- AGH
- Date
- March 18, 2010, 10 a.m.
- Room
- room 5840
- Seminar
- Seminar of Numerical Analysis Group
Rozważymy problem aproksymacji skalarnych stochastycznych równań różniczkowych postaci
(1)
dX(t) = σ1(t)a(X(t))dt + σ2(t)b(X(t))dW(t), t \in [0, T],
X(0) = η,
przy czym zakładamy, że współczynniki σ1, σ2 : [0, T] → R mogą mieć skończoną ilość
nieznanych osobliwości w (0, T).
Rozpatrzymy najpierw przypadek regularny, w którym σ1, σ2 należą do klasy funkcji
Holderowsko ciągłych z wykładnikiem \varrho \in (0, 1]. W przypadku szumu addytywnego
(b \equiv const) pokażemy, że wśród wszystkich algorytmów adaptacyjnych klasyczny algorytm
Eulera XE ma optymalny błąd Θ(n-\varrho), \varrho \in (0, 1]. Dla równania (1) z szumem
multiplikatywnym udowodnimy, że algorytm XE ma błąd O(n-min{1/2,\varrho}) i jest on
optymalny gdy \varrho \in (0, 1/2].
W przypadku osobliwym założymy, ze σ1, σ2 należą do klasy funkcji kawałkami
spełniających warunek Holdera oraz, w nieznanych punktach osobliwych, prawostronnie
ciągłych. Zbadamy błąd algorytmu Eulera XE i pokażemy, że jedynie osobliwości σ2 wpływają na jego dokładność. Pozwoli nam to pokazać, że błąd tego algorytmuwynosi O(n-min{1/2,\varrho}), zarówno w przypadku szumu addytywnego jak i multiplikatywnego.Ponadto, wykorzystując wyniki dla całkowania Itô funkcji z osobliwościami
udowodnimy, że dowolny algorytm nieadaptacyjny ze względu na σ2 (czyli np. XE)ma błąd nie mniejszy niż n-min{1/2,\varrho}. Ograniczenie to zachodzi nawet jeśli σ2 ma co najwyzej jeden nieznany punkt osobliwy. W celu zachowania poziomu błędu z przypadku
regularnego, rozważymy algorytmy adaptacyjne ze względu na σ2. W przypadku
szumu addytywnego, gdy współczynnik σ2 ma co najwyżej jeden punkt osobliwy, skonstruujemy
zmodyfikowany algorytm Eulera XE, który najpierw wykrywa osobliwośćσ2 a następnie odpowiednio modyfikuje wyjściową dyskretyzację [0, T]. Algorytm ten zachowuje optymalny błąd Θ(n-\varrho) z przypadku regularnego. Rozważymy również przypadek wielu osobliwosci.
