Od fraktali i iterowanych układów funkcyjnych do operatorów Markowa - przegląd wyników i metod.

W moim wystąpieniu chciałabym przedstawić przykładowe wyniki i metody teorii operatorów Markowa, tj. operatorów opisujących ewolucje miar. Najpierw omówię ważny przykład - operatory Markowa generowane przez iterowane układy funkcyjne. W szczególnym przypadku operator taki przypisuje określonej na przestrzeni metrycznej mierze $\mu$ kombinację (z danymi, sumującymi się do jedynki współczynnikami) miar będących transportami $\mu$ poprzez dane transformacje. Opowiem, jak za pomocą operatorów tej postaci otrzymywać niektóre z fraktali, np. paprotkę Barnsleya, trójkąt Sierpińskiego, czy drzewko binarne (znane z wydziałowych korytarzy). Jako, że zbiory te związane są z asymptotycznym zachowaniem ciągów iteracji pewnych operatorów Markowa, przedstawię twierdzenia tego dotyczące. Będą to tzw. kryteria asymptotycznej stabilności - proste (dowód oparty na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym) i trudniejsze (zakłada się, że startujące z dowolnej miary probabilistycznej trajektorie, wyznaczane wzgl. badanego operatora, złożone są z miar, które koncentrują się na dowolnie małym zbiorze; ważnym krokiem dowodu jest wykazanie ścisłości pewnych rodzin miar). Zaprezentuję też dwa twierdzenia związane z tzw. probabilistycznym algorytmem generowania fraktali (dowód jednego z nich jest elementarny, a dowód drugiego odwołuje się do twierdzenia o zbieżności martyngałów).