O rozkładzie hiperbolicznego procesu Bessela

W referacie przedstawiona zostanie charakteryzacja rozkładu realizacji hiperbolicznego procesu Bessela (HB) w ustalonej chwili. Procesy HB nalezą do klasy dyfuzji związanych z funkcjami hiperbolicznymi (razem z procesami Bessela, Ornsteina-Uhlenbecka czy radialnego Ornsteina-Uhlenbecka). Na proces HB można  patrzeć rownież jako na ruch Browna z losowym dryfem. Procesy te były rozpatrywane m.in przez Grueta (który przedstawił ich charakteryzację za pomoca technik geometrii przestrzeni hiperbolicznych) oraz Borodina (który podał ich charakteryzację za pomocą równań różniczkowych cząstkowych). Charakteryzacje obu autorów są bardzo skomplikowane technicznie. W referacie przedstawiona zostanie charakteryzacja HB za pomocą technik czysto probabilistycznych. Rezultaty otrzymane są odmienne od tych uzyskanych przez Grueta oraz Borodina.

W referacie zrealizujemy 3 kroki: w pierwszym kroku przedstawimy związek cosinusa hiperbolicznego HB z pewnym funkcjonałem brownowskim. W drugim kroku znajdziemy specjalną postać transformaty Laplace'a cosinusa hiperbolicznego HB. W 3 kroku wykorzystamy specjalną postać transformaty Laplace'a z kroku 2 oraz własności kwadratowego procesu Bessela w celu otrzymania równości wg rozkładów między cosinusem hiperbolicznym HB oraz powiększonym o jeden iloczynem dwóch niezależnych procesów: kwadratowego procesu Bessela oraz całce po kwadracie geometrycznego ruchu Browna.

Referat na podstawie wspólnej pracy z J.Jakubowskim "On distribution of hyperbolic Bessel processes." (w przygotowaniu)